$$  $$Encontrar la solución general de la ecuación diferencial: $$ x\left(x+y\right)y^{\prime}+y\left(3x+y\right)=0 $$

La ecuación diferencial dada es:

\[
x(x + y) y' + y(3x + y) = 0
\]

### Paso 1: Reescribimos la ecuación diferencial.
Primero, vamos a reescribir la ecuación en una forma más manejable, empezando por distribuir los términos:

\[
x(x + y) \frac{dy}{dx} + y(3x + y) = 0
\]

### Paso 2: Simplificar la ecuación.
Esto nos lleva a:

\[
x(x + y) \frac{dy}{dx} = -y(3x + y)
\]

Dividimos ambos lados de la ecuación por $ x \neq 0 $:

\[
(x + y) \frac{dy}{dx} = -\frac{y(3x + y)}{x}
\]

### Paso 3: Transformar la ecuación.
Este tipo de ecuación sugiere que podemos intentar una sustitución. Definimos una nueva variable $ v $ tal que:

\[
v = \frac{y}{x}
\]

Por lo tanto, $ y = vx $ y al derivar:

\[
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}
\]

### Paso 4: Sustituir en la ecuación original.
Sustituimos $ y = vx $ y $ \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} $ en la ecuación original:

\[
(x + vx)(v + x \frac{dv}{dx}) = -\frac{vx(3x + vx)}{x}
\]

Simplificamos el lado izquierdo:

\[
x(1 + v)(v + x \frac{dv}{dx}) = -v(3x + vx)
\]

Multiplicamos ambos lados:

\[
x(1 + v)v + x^2(1 + v) \frac{dv}{dx} = -v(3x + vx)
\]

### Paso 5: Simplificar la ecuación.
Cancelamos términos similares y reorganizamos para despejar:

\[
x^2(1 + v) \frac{dv}{dx} = -xv(2 + v)
\]

Dividimos entre $ x(1 + v) $ y reescribimos:

\[
x \frac{dv}{dx} = -\frac{v(2 + v)}{1 + v}
\]

### Paso 6: Separar variables.
Separando las variables, tenemos:

\[
\frac{1 + v}{v(2 + v)} dv = -\frac{dx}{x}
\]

### Paso 7: Integrar ambos lados.
Integramos ambos lados. Primero, descomponemos la fracción en el lado izquierdo utilizando fracciones parciales:

\[
\frac{1 + v}{v(2 + v)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{2 + v}
\]

Al resolver para $ A $ y $ B $, obtenemos:

\[
\frac{1 + v}{v(2 + v)} = \frac{1}{v} - \frac{1}{2 + v}
\]

Entonces, la ecuación se convierte en:

\[
\left( \frac{1}{v} - \frac{1}{2 + v} \right) dv = -\frac{dx}{x}
\]

### Paso 8: Integración.
Integramos ambos lados:

\[
\ln |v| - \ln |2 + v| = -\ln |x| + C
\]

Simplificando la expresión:

\[
\ln \left( \frac{v}{2 + v} \right) = -\ln |x| + C
\]

Exponenciamos ambos lados:

\[
\frac{v}{2 + v} = \frac{C_1}{x}
\]

Donde $ C_1 = e^C $ es una constante. Despejamos $ v $:

\[
v = \frac{2C_1}{x - C_1}
\]

### Paso 9: Sustituir $ v = \frac{y}{x} $.
Finalmente, sustituimos $ v = \frac{y}{x} $ para obtener la solución general:

\[
\frac{y}{x} = \frac{2C_1}{x - C_1}
\]

Multiplicamos ambos lados por $ x $:

\[
y = \frac{2C_1 x}{x - C_1}
\]

Esta es la solución general de la ecuación diferencial.

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden?
2. ¿Cómo afecta una condición inicial a la solución general de una ecuación diferencial?
3. ¿Qué tipo de ecuaciones diferenciales son más comunes en física?
4. ¿Cómo se usa el método de separación de variables en otras ecuaciones diferenciales?
5. ¿Qué son las ecuaciones diferenciales exactas y cómo se resuelven?

**Tip**: Las sustituciones inteligentes, como $ v = \frac{y}{x} $, son clave para simplificar ecuaciones diferenciales no lineales.

Encontrar la solución general de la ecuación diferencial: x(x+y)y' + y(3x+y) = 0

Encuentra la solución general de la ecuación diferencial x(x + y)y' + y(3x + y) = 0 usando el método de sustitución y separación de variables. Aprende cómo descomponer fracciones parciales para simplificar la integración. Este problema es adecuado para estudiantes avanzados de cálculo o nivel universitario.

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